Oplossingen

Meerkeuze deel

• Vraag 1: Antwoord c (76 N, maar de balk gaat altijd roteren)

Om translatie-evenwicht te hebben moet de som van de krachten nul zijn:

(y): $$V.\cos32^{\circ}+F\cos~\theta-52N.\cos~58^{\circ}=0 \rightarrow F\cos\theta=-19,9N$$

(x): $$56N.\sin32^{\circ} - F\sin\theta + \sin~58^{\circ}=0 \rightarrow F\sin\theta = 73,8N$$

De grootte van de kracht volgt uit Pythagoras: $$|F|=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}=\sqrt{F^{2}\sin^{2}\theta+F^{2}\cos^{2}\theta}=76,4N$$

Als we het krachtmoment rond punt C bekijken dan zien we dat dit gelijk is aan: $\tau=52N.\sin58^{\circ}.\frac{L}{2}-56N.\sin32^{\circ}.\frac{L}{2}=7,2N.L\ne0$

Het krachtmoment kan dus niet nul gemaakt worden door de keuze van F, en de balk gaat altijd roteren.

• Vraag 2: Antwoord d ($76,5^{\circ}$)

Het bolletje maakt een cirkelbeweging, dus is er een centripetale kracht nodig om die beweging te maken; die wordt geleverd door de horizontale component van de trekkracht in het touw. In verticale richting is er geen beweging, dus moet de som van de krachten in verticale richting nul zijn: $F_{v}=mg-F_{T}\cos~\theta=0$ $F_{x}=ma=\frac{mv^{2}}{R}=F_{r}\sin~\theta$ De snelheid van het bolletje hangt samen met de oplooptijd T: $v=2\pi R/T$ en de straal van de beweging R hangt samen met de hoek die het touw maakt met de verticale richting: $R=L\sin~\theta$: $\frac{mv^{2}}{R}=m\frac{4\pi^{2}R^{2}}{RT^{2}}=\frac{m4\pi^{2}(L\sin\theta)}{T^{2}}=F_{T}\sin\theta=(\frac{mg}{\cos\theta})\sin\theta$ $\rightarrow \frac{4\pi^{2}L}{T^{2}}=\frac{g}{\cos\theta}\rightarrow \cos\theta=\frac{gT^{2}}{4\pi^{2}L}=0.233\rightarrow\theta=76,5^{\circ}$

• Vraag 3: Antwoord a (55 min)

De minimaal benodigde arbeid is de winst aan potentiële energie: $$W=mgh=75kg.\frac{9,80m}{s^{2}}\cdot1600m=1,176\times10^{6}J$$ Het gemiddeld uitgeoefende krachtmoment is: $$\tau=FR=250N.0,17m=42,5~Nm$$ Het geleverde vermogen wordt hiermee: $$P=\tau\omega=42.5 Nm\times2\pi rad\times\frac{80}{60s}=356W$$ De tijd is dan: $$t=\frac{W}{P}=\frac{1,176\times10^{6}J}{356W}=3300s=55 min$$

• Vraag 4: Antwoord c (18 s)

We bekijken de situatie waarbij de statische wrijving net groot genoeg is om de centripetale kracht te leveren om de cirkelbeweging te maken: $\mu_{s}F_{N}=\frac{mv^{2}}{R}\rightarrow v=\sqrt{\frac{\mu_{s}mgR}{m}}=\sqrt{\mu_{s}gR}=7,0m/s$ De benodigde tijd is dus: $t=\frac{afstand}{snelheid}=\frac{2\pi.20m}{7m/s}=18s$

• Vraag 5: Antwoord d (477 N)

De steen maakt een cirkelbeweging en de som van de krachten op de steen moet gelijk zijn aan de centripetaalkracht. De kracht die de steen ondervindt is gelijk aan de normaalkracht erop: $F=ma=\frac{mv^{2}}{R}=F_{N}-mg \rightarrow F_{N}=\frac{mv^{2}}{R}+mg=\frac{m(R\omega)^{2}}{R}+mg = m\omega^{2}R+mg$ $=2,3kg[(2\pi.\frac{300}{60})^{2}\times0,20m+\frac{9,80m}{s^{2}}]=454N+23N=477N$

• Vraag 6: Antwoord c ($2,4\times10^{20}N$)

De kracht op de maan, uitgeoefend door de zon, is: $F_{MZ}=G\frac{m_{M}m_{Z}}{d_{M-Z}^{2}}=6,67\times10^{-11}\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}\frac{7.35\times10^{22}kg.1,99\times10^{30}kg}{(1,496\times10^{11}m-3,84\times10^{8}m)^{2}}=4.38\times10^{20}N$ De kracht op de maan, uitgeoefend door de aarde, is: $F_{MA}=G\frac{m_{M}m_{A}}{d_{M-A}^{2}}=6,67\times10^{-11}\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}\frac{7,35\times10^{22}kg.5,98\times10^{24}kg}{(3.84\times10^{8}m)^{2}}=1,99\times10^{20}N$ Tijdens een zonsverduistering staat de maan tussen de aarde en de zon, dus werken deze 2 kracht in tegengestelde zin, en de totale kracht is het verschil tussen beide, dus $2,39\times10^{20}N$ (afgerond $2,4\times10^{20}N$).

• Vraag 7: Antwoord a (23 m/s)

We kunnen de beweging opsplitsen in een horizontale component (met een constante snelheid) en een verticale valbeweging: $(x):x=v_{x}t=v_{0}\cos\theta t=84m\rightarrow t=\frac{84m}{\cos\theta v_{0}}=\frac{97m}{v_{0}}$ $(y):y=y_{0}+v_{0}\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^{2}\rightarrow 0=42m+v_{0}\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^{2}$ $\rightarrow 0=42m+v_{0}\times0,500(\frac{97m}{v_{0}})-\frac{1}{2}\times9,80~m/s^{2}(\frac{97m}{v_{0}})^{2}$ Hieruit: $\frac{4,90m}{s^{2}}(\frac{97m}{v_{0}})^{2}=90,5m\rightarrow v_{0}=\sqrt{\frac{4,90m/s^{2}\times(97m)^{2}}{90,5m}}=22,6m/s$

• Vraag 8: Antwoord a (61 km)

Totale massa: $M=(35+24+7)\times10^{3}kg=66\times10^{3}kg$ Bereken componenten van het massamiddelpunt (alle massa's in ton, alle afstanden in km): $x=\frac{35(12)+24(98)+7(66)}{66}=49$ $y=\frac{35(29)+24(14)+7(22)}{66}=23$ $z=\frac{35(34)+24(26)+7(11)}{66}=29$ Het ruimteschip van Zork stond oorspronkelijk op positie: (49, 23, 29); de afstand tot Kirk is hierdoor: $d=\sqrt{49^{2}+23^{2}+29^{2}}km=61km$

• Vraag 9: Antwoord a ($K_{blok}<K_{cilinder}<K_{bol}$)

Glijdend blok: $K_{blok}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}.10kg.v^{2}=5,0~v^{2}$ Massieve cilinder: $K_{cil}=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}I\omega^{2}=\frac{1}{2}.7,0kg.v^{2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^{2})(\frac{v}{R})^{2}=3,5v^{2}+1,75v^{2}=5,25v^{2}$ Massieve bol: $K_{bol}=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}I\omega^{2}=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^{2})(\frac{v}{R})^{2}=\frac{7}{10}mv^{2}=5,6v^{2}$

• Vraag 10: Antwoord e (243 keer)

Het benodigde krachtmoment is evenredig met het traagheidsmoment van de bol. Noemen we R de oorspronkelijke straal, dan geldt: $I_1 = \frac{2}{5}MR^2 = \frac{2}{5}(\rho\frac{4}{3}\pi R^3)R^2$ $I_3 = \frac{2}{5}(\rho\frac{4}{3}\pi(3R)^3)(3R)^2 = 3^5 \times \frac{2}{5}(\rho\frac{4}{3}\pi R^3)R^2 = 243 \times I_1$

• Vraag 11: Antwoord b (Schijf B)

$L_A = L_B \rightarrow I_A\omega_A = I_B\omega_B \rightarrow I_A^2\omega_A^2 = I_B^2\omega_B^2$ $K_A > K_B \rightarrow \frac{1}{2}I_A\omega_A^2 > \frac{1}{2}I_B\omega_B^2 \rightarrow \frac{I_A^2\omega_A^2}{I_A} > \frac{I_B^2\omega_B^2}{I_B} \rightarrow \frac{1}{I_A} > \frac{1}{I_B} \rightarrow I_B > I_A$

• Vraag 12: Antwoord d ($2,8 \times 10^{-7} W$)

De vogel nog net horen betekent een geluidssterkte van 0 dB op 150 m afstand: $I = \frac{10^{-12}W}{m^2} = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi d^2} \rightarrow P = \frac{10^{-12}W}{m^2} \times 4\pi(150m)^2 = 2,8 \times 10^{-7}W$

Open vragen deel

• Vraag 13: Oplossing (0,835 s)

Dit is een fysische slinger die uit 3 gelijke stukken bestaat. We hebben telkens de afstand van het massamiddelpunt nodig ten opzichte van het ophangpunt om het traagheidsmoment ten opzichte van het ophangpunt te berekenen. Voor elk van de schuine staafjes: $I = \frac{1}{12}ML^2 + M(\frac{L}{2})^2 = \frac{1}{3}ML^2$ Voor het staafje onderaan de driehoek kunnen we berekenen dat de afstand tussen het MM en het ophangpunt gelijk is aan $L\cos30^{\circ}$: $I = \frac{1}{12}ML^2 + M(L\cos30^{\circ})^2 = \frac{5}{6}ML^2$ Het totale traagheidsmoment is dus: $I_{tot} = \frac{1}{3}ML^2 + \frac{1}{3}ML^2 + \frac{5}{6}ML^2 = \frac{3}{2}ML^2$ Daarnaast hebben we de afstand nodig tussen het MM van het geheel en het ophangpunt. Het is voldoende om de y-coördinaat van het MM te berekenen t.o.v. het ophangpunt (uit symmetrie volgt dat de x-coördinaat nul is): $$y_{MM} = \frac{M L\cos30^{\circ} + \frac{ML}{2}\cos30^{\circ} + \frac{ML}{2}\cos30^{\circ}}{3M} = \frac{2}{3}L\cos30^{\circ}$$ Vullen we alles in in de formule van de fysische slinger: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgh}} = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{3}{2}ML^2}{3Mg(\frac{2}{3}L\cos30^{\circ})}} = 2\pi\sqrt{\frac{3L}{4g\cos30^{\circ}}} = 0,835s$$

• Vraag 14: Oplossing (2,716 m/s)

We kunnen dit oplossen met behoud van energie of met krachten en krachtmomenten. Eerst met behoud van energie: we starten met enkel potentiële energie tgv de zwaartekracht: $m_{A}gh_{1}+m_{B}gh=m_{A}gh_{2}+\frac{1}{2}m_{A}v^{2}+\frac{1}{2}m_{B}v^{2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^{2})(\frac{v}{R})^{2}$ Hierin is de verandering van de hoogte van mA (langs de helling): $h_{2}-h_{1}=h\sin\theta$ $m_{B}gh=m_{A}gh\sin\theta+\frac{1}{2}(m_{A}+m_{B})v^{2}+\frac{1}{4}Mv^{2}$ $v=\sqrt{\frac{m_{B}gh-m_{A}gh\sin\theta}{\frac{1}{2}(m_{A}+m_{B})+\frac{1}{4}M}}=2,716m/s$

Met krachten en krachtmomenten: 2e wet van Newton voor de blokken: $m_{A}a=T_{A}-m_{A}g~\sin\theta$ $m_{B}a=m_{B}g-T_{B}$ 2e wet van Newton voor rotaties voor de katrol: $\tau=T_{B}R-T_{A}R=I\alpha=\frac{1}{2}MR^{2}(\frac{a}{R})\rightarrow T_{B}-T_{A}=\frac{1}{2}Ma$ Vullen we de trekkrachten uit de eerste 2 vgl. in de laatste: $m_{B}(g-a)-m_{A}(a+g\sin\theta)=\frac{1}{2}Ma\rightarrow m_{B}g-m_{A}g\sin\theta=(m_{B}+m_{A}+\frac{M}{2})a$ $\rightarrow a=\frac{g(m_{B}-m_{A}\sin\theta)}{m_{A}+m_{B}+\frac{M}{2}}=4,92m/s^{2}$ Uit de formules van hoofdstuk 2: $v=\sqrt{2ay}=2,716~m/s$

• Vraag 15: Oplossing (2,67 m)

De enige kracht op de bal in horizontale richting is de wrijvingskracht. Hiermee kunnen we de 2e wet van Newton schrijven, zowel voor translaties als voor rotaties: $ma = -\mu_k F_N = -\mu_k mg \rightarrow a = -\mu_k g$ $\tau = F_{wr}. R = \mu_k mg. R = I\alpha \rightarrow \alpha = \frac{\mu_k mgR}{\frac{2}{5}mR^2} = \frac{5\mu_k g}{2R}$ De bal zal beginnen rollen zonder slippen op het moment dat $v = \omega R$ geldig wordt. Linker en rechter lid geven: $v = v_0 + at = v_0 - \mu_k gt$ $\omega \times R = \alpha t \times R = \frac{5\mu_k g}{2R}t \times R = \frac{5\mu_k g t}{2}$ Stellen we die 2 aan elkaar gelijk: $v_0 - \mu_k gt = \frac{5\mu_k gt}{2} \rightarrow t = \frac{2v_0}{7\mu_k g}$ De afgelegde afstand op dat moment is: $x = v_0t + \frac{1}{2}at^2 = \frac{2v_0^2}{7\mu_k g} - \frac{1}{2}\mu_k g (\frac{2v_0}{7\mu_k g})^2 = \frac{12}{49} . \frac{v_0^2}{\mu_k g} = 2,67m$

• Vraag 16: Oplossing (FAy = -8,64 N, FAx = -51,15 N, x = 2,436 m)

Gaan we uit van een kracht die in het scharnier op de staaf uitgeoefend wordt met een horizontale component FAx naar rechts en een verticale component FAy naar boven. De kracht die het touw uitoefent is langs het touw gericht en noemen we T: (y): $F_{Ay} + T\cos37^{\circ} - W - mg = 0 \rightarrow F_{Ay} = W + mg - T\cos37^{\circ} = -8,64N$ (x): $F_{Ax} + T\sin37^{\circ} = 0 \rightarrow F_{Ax} = -T\sin37^{\circ} = -51,15N$ Berekenen we het krachtmoment ten opzichte van punt A: $$\tau = -W \times x \times \sin53^{\circ} - mg \times \frac{L}{2} \times \sin53^{\circ} + TL\sin(53^{\circ} - 37^{\circ}) = 0$$ $$\rightarrow x = \frac{TL\sin17^{\circ} - mgL\sin53^{\circ}/2}{W\sin53^{\circ}} = 2,436m$$

Meerkeuze deel

Vraag 1

Op de balk in de figuur werken een aantal krachten. Hoe groot moet de kracht F zijn die in het middelpunt C aangrijpt om te zorgen dat de balk geen translatiebeweging krijgt? Kan je de kracht F zó kiezen dat de balk niet begint te roteren?

• a. 76 N, en als de hoek goed gekozen is, gaat de balk niet roteren
• b. 105 N, en als de hoek goed gekozen is, gaat de balk niet roteren
• c. 76 N, maar de balk gaat altijd roteren
• d. 105 N, maar de balk gaat altijd roteren
• e. De balk gaat altijd in translatiebeweging komen

Vraag 2

Je verveelt je een beetje (de batterij van je telefoon is plat) en je maakt een metalen bolletje vast aan een stukje touw van 45 cm lang. Je houdt het touwtje bovenaan vast en je zwaait het bolletje in het rond, zodat het touwtje schuin gaat hangen (dit is een conische slinger). Het bolletje maakt elke 0,65 s een volledige cirkel. Wat is de hoek die het touwtje maakt met de verticale richting?

• a. $13.5^{\circ}$
• b. $21,0^{\circ}$
• c. $69,0^{\circ}$
• d. $76,5^{\circ}$

Vraag 3

Remco (75 kg inclusief fiets) fiets vanuit het dorpje Bedoin, op 300 m hoogte, de Mont Ventoux (1900 m hoog) op, en oefent daarbij gemiddeld een kracht van 250 N uit, loodrecht op zijn pedaalstangen of 'cranks' (beide pedalen samen). Als hij zijn pedalen ronddraait aan 80 omwentelingen per minuut, en de pedaalstangen 17 cm lang zijn, hoeveel tijd heeft hij nodig om de top te bereiken als we wrijvingsverliezen verwaarlozen?

• a. 55 min
• b. 65 min
• c. 78 min
• d. 82 min

Vraag 4

Het heeft gesneeuwd, en de wrijvingscoëfficiënt tussen banden en wegdek is $\mu_{s}=0,25$ en $\mu_{k}=0,15$. Een auto rijdt rondjes op een vlak aangelegd rond punt met een diameter van 40 m. Hoeveel tijd heeft de auto minstens nodig om een rondje te maken zonder te slippen?

• a. 9 s
• b. 12 s
• c. 18 s
• d. 23 s

Vraag 5

Een steen van 2,3 kg bevindt zich in een wasmachine die aan het ronddraaien is aan 300 omw/min en draait om een horizontale as. Als de wastrommel een diameter van 40 cm heeft, hoe groot is de kracht die de steen ondervindt (kracht tussen steen en wastrommel) tijdens het ronddraaien, als die zich vlak aan de binnenkant van de trommel bevindt? We bekijken het moment dat de steen zich net aan de onderkant van de trommel bevindt. Verwaarloos de afmetingen van de steen.

• a. 454 N
• b. 23 N
• c. 431 N
• d. 477 N

Vraag 6

Hoe groot is de nettokracht die op de maan werkt tijdens een zonsverduistering?

• a. $2,0\times10^{20}N$
• b. $4,4\times10^{20}N$
• c. $2,4\times10^{20}N$
• d. $6,4\times10^{20}N$

Vraag 7

Je staat aan de rand op het dak van een gebouw en je gooit, vanaf een hoogte van 42 m, een tennisbal schuin omhoog weg, onder een hoek van $30^{\circ}$ met de horizontale richting. De bal komt in een emmer terecht, die op een afstand van 84 m van de voet van het gebouw staat. Met welke snelheid werd de bal weggegooid? We verwaarlozen de luchtweerstand.

• a. $23~m/s$
• b. $31~m/s$
• c. $39~m/s$

Vraag 8

Het ruimteschip van de slechterik Zork hangt stil in de ruimte, ver van planeten en sterren. Bij een zware explosie breekt het ruimteschip in 3 stukken; na een tijdje bevindt het eerste stuk $(35\times10^{3}$ kg) zich op positie $(x,y,z)=(12,29,34)$, het tweede stuk $(24\times10^{3}$ kg) op positie (98,14, 26) en het derde stuk ($(7\times10^{3})$ kg) op positie (66, 22, 11) (alle posities in km, berekend ten opzichte van het ruimteschip van kapitein Kirk). Op hoe ver van het schip van Kirk stond het ruimteschip vooraleer het in 3 stukken brak?

• a. 61 km
• b. 73 km
• c. 101 km
• d. 104 km

Vraag 9

Welk voorwerp heeft de grootste kinetische energie: een glijdend blok van 10 kg, een rollende massieve cilinder van 7,0 kg of een rollende massieve bol van 8,0 kg? De voorwerpen hebben dezelfde snelheid.

• a. $K_{blok}<K_{cilinder}<K_{bol}$
• b. $K_{cilinder}<K_{blok}<K_{bol}$
• c. $K_{bol}<K_{cilinder}<K_{blok}$
• d. $K_{cilinder}<K_{bol}<K_{blok}$

Vraag 10

Je maakt een model-wereldbol die kan ronddraaien door een motortje te monteren onder een massieve bol (die je vanzelfsprekend mooi beschildert met landen en zeeën). Je hebt de smaak te pakken, en je wil een grotere versie maken, met een bol met een 3 keer zo grote straal. Hoe veel groter is het krachtmoment dat het motortje moet leveren om de grotere bol te laten draaien met eenzelfde hoekversnelling?

• a. 3 keer
• b. 9 keer
• c. 27 keer
• d. 81 keer
• e. 243 keer

Vraag 11

Twee draaiende schijven hebben hetzelfde impulsmoment, maar schijf A heeft meer kinetische energie dan schijf B. Welke heeft het grootste traagheidsmoment?

• a. Schijf A.
• b. Schijf B.
• c. Er is niet genoeg informatie om de vraag te beantwoorden.

Vraag 12

Een kwetterende vogel die boven je hoofd voorbij vliegt, op een hoogte van 150 m, kan je nog net horen als het voor de rest muisstil is rond jou. Welk geluidsvermogen produceert deze vogel?

• a. 1,9 x 10^-9 W
• b. 7,1 x 10^-8 W
• c. 1,4 x 10^-7 W
• d. 2,8 x 10^-7 W

Open vragen deel

Vraag 13

Een triangel is een muziekinstrument dat bestaat uit een metalen staaf die in de vorm van een gelijkzijdige driehoek geplooid is. Als de zijden van deze driehoek 20 cm lang zijn, wat is de slingerperiode van de triangel als we die laten slingeren rond een hoekpunt bovenaan, in het vlak van de triangel?

Vraag 14

In onderstaande figuur is $m_{A}=3,5$ kg, $m_{B}=8,0$ kg en $h=0,75$ m. De helling is glad. Als dit systeem vanuit rust losgelaten wordt, wat is de snelheid van $m_{B}$ net voordat de massa de grond raakt? Het touw is licht en rekt niet; de katrol heeft een straal van 20 cm en een massa van 1,5 kg en kan als een massieve cilinder beschouwd worden.

Vraag 15

Lena gooit een bowlingbal zodanig op de bowlingbaan dat de bal niet roteert op het moment dat de bal de baan raakt. Als de bal (een massieve bol) de baan raakt met een snelheid van 4,0 m/s, en de baan een kinetische wrijvingscoëfficiënt heeft van 0,15, hoe veel afstand legt de bal op de baan af vooraleer hij begint te rollen zonder te slippen?

Vraag 16

Een uniforme staaf AB met lengte 4,5 m en massa M = 3,8 kg is scharnierend bevestigd in A en wordt in evenwicht gehouden door een licht touw, op de manier zoals is weergegeven in de figuur. Aan de staaf hangt een last W = 22 N op een afstand x, zodanig dat de trekkracht in het touw 85 N is. (a) Bereken de verticale en horizontale kracht op de staaf die uitgeoefend wordt door het scharnier. (b) Bepaal de afstand x.

Open vragen deel

Vraag 1

Je maakt een raket en schiet die af met een snelheid van 3000m/s, wat is zijn max hoogte?

Vraag 2

2 muziekboxen staan op 50 meter van elkaar, de eerste heeft een intensiteit van 95dB op 1 meter afstand, de andere 105dB op 1 meter afstand, op hoeveel afstand van de eerste box zijn ze even luid? hoe luid is dit?

Meerkeuze deel

Vraag 1

Een paar weken geleden raakte de Gentse tram 2 niet over de brug naar Zwijnaarde omdat de sporen te glad waren. Als de helling naar deze brug 6,00% bedraagt (de hoogte neemt met 6 m toe per 100 meter spoor), hoe groot moet de wrijvingscoëfficiënt tussen tram en sporen minimaal zijn om met de tram de brug op te geraken?

• a. 0,0344

• b. 0,344

• c. 0,0600

• d. 0,0601

Vraag 2

Ewoud heeft een nieuwe slijpmachine gekocht (zie figuur) die 2 cilindrische slijpschijven met een diameter van 200 mm en 2,5 kg elk kan laten ronddraaien. Als de machine vanuit stilstand vertrekt, en een toerental van 3000 omw/min bereikt in 5,0 s, hoe groot is het gemiddelde vermogen dat de motor hiervoor moet leveren?

• a. 493 W

• b. 247 W

• c. 123 W

• d. 79 W

• e. 39 W

Vraag 3

Je gebruikt een veer om ballen af te schieten, onder een hoek van 45° met de horizontale richting. De eerste keer bereik je een hoogte H, maar de 2e keer druk je de veer 2 keer zo diep in. Hoe hoog komt de bal nu?

• a. 1,41 H

• b. 2 H

• c. 4 H

• d. 8 H

Vraag 4

Het ISS internationaal ruimtestation draait in een cirkelvormige baan om de aarde op een hoogte van 408 km boven het aardoppervlak. Wat is de omwentelingsperiode van het station in zijn baan om de aarde?

• a. 886 s

• b. 3698 s

• c. 5229 s

• d. 5564 s

Vraag 5

De dunste snaar van een gitaar heeft een diameter van 0,25 mm, een lengte van 63 cm, en staat onder een spanning van 56 N. Wat is de frequentie van de grondtoon van deze stalen snaar?

• a. 607 Hz

• b. 1214 Hz

• c. 304 Hz

• d. 152 Hz

Vraag 6

De microfoon van een GSM heeft typisch een cirkelvormig oppervlak met een diameter van 0,50 mm. Als deze microfoon een geluid met een intensiteit van 65 dB opvangt, wat is dan het vermogen dat op de microfoon invalt?

• a. $6,2\times10^{-13}\text{ W}$

• b. $2,5\times10^{-12}\text{ W}$

• c. $3,2\times10^{-6}\text{ W}$

• d. $6,2\times10^{-7}\text{ W}$

Vraag 7

Je maakt voor een fysicademonstratie een ronde houten plaat die rond haar middelpunt kan ronddraaien door op de as een motor aan te sluiten. De motor moet hiervoor een krachtmoment T kunnen leveren. Je maakt ook een grotere versie van de demonstratie, met een houten plaat (met dezelfde dikte) met een 2 keer zo grote diameter. Welk krachtmoment moet de motor nu kunnen leveren voor dezelfde hoekversnelling?

• a. 2 T

• b. 4 T

• c. 8 T

• d. 16 T

Vraag 8

Lena maakt een fietstochtje. Op een bepaald moment moet ze remmen omdat een eekhoorntje de weg oversteekt. In welke richting werkt de verandering van het impulsmoment van haar fietswielen tijdens het remmen?

• a. Naar links

• b. Naar rechts

• c. Naar voor

• d. Naar achter

Vraag 9

Lena en Bob dragen samen een 6,0 m lange homogene ladder van 35 kg horizontaal over de straat. Lena loopt aan het ene uiteinde van de ladder, en Bob loopt op 1,0 m van het andere uiteinde. Welke kracht moet Lena op de ladder uitoefenen?

• a. 137 N

• b. 172 N

• c. 206 N

• d. 343 N

Vraag 10

Een speelgoedautootje beweegt in een horizontale cirkel met straal 2a. Het wordt op zijn baan gehouden door een elastische veer met een rustlengte a. De periode van de cirkelbeweging is T. Wanneer de snelheid van het autootje wordt opgedreven rekt de veer verder uit tot het autootje beweegt in een cirkel met straal 3a. Wat is de periode van de cirkelbeweging nu?

• a. $\frac{\sqrt{3}}{2}T$

• b. $\sqrt{\frac{3}{2}}T$

• c. $\frac{2\sqrt{3}}{3}T$

Vraag 11

Een zware bowlingbal botst recht tegen een stilliggend pingpongballetje. Welke van beide heeft de grootste impuls na de botsing als de botsing elastisch is?

• a. De bowlingbal

• b. Het pingpongballetje

• c. Ze hebben een gelijke impuls

Vraag 12

Twee draaiende schijven hebben hetzelfde impulsmoment, maar schijf A heeft meer kinetische energie dan schijf B. Welke heeft het grootste traagheidsmoment?

• a. Schijf A

• b. Schijf B

• c. Er is niet genoeg informatie om de vraag te beantwoorden

Open vragen deel

Vraag 1

Een bol klei met massa m botst met een snelheid v tegen een houten blok met massa M, dat opgehangen is via een licht touw met lengte l (zie figuur). Als de bol klei blijft vast hangen aan het houten blok, wat is minimaal de snelheid v, zodanig dat het geheel een volledige cirkelbeweging kan beschrijven?

Vraag 2

Een jojo is gemaakt van twee massieve cilindrische schijven, die elk een massa van $m_1 = 0,050\text{ kg}$ en een diameter van $D_1 = 0,075\text{ m}$ hebben, die met elkaar verbonden zijn door een massieve cilindrische naaf met een massa $m_2 = 0,0050\text{ kg}$ en een diameter van $D_2 = 0,010\text{ m}$.

• (a) Bereken met behoud van energie de lineaire snelheid van de jojo net voordat deze het uiteinde van een 1,0 m lang touwtje bereikt, als de jojo bovenaan losgelaten (met het touw helemaal opgerold) wordt vanuit rust.

• (b) Wat is de verhouding van de rotationele kinetische energie tot de totale kinetische energie van de jojo bij het laagste punt?

Vraag 3

Een kunstenaar maakt een kunstwerk bestaande uit smalle 3 stalen balken van elk 5 m lang en elk een massa van 120 kg, die samen een gelijkzijdige driehoek vormen. Het geheel wordt opgehangen aan één hoekpunt van de driehoek. Als het kunstwerk heen en weer slingert in het vlak van de driehoek, wat is de periode van deze 'slinger'?

Vraag 4

Een massieve cilinder rolt vanuit stilstand vanaf een hoogte H langs een helling naar beneden. Teken deze situatie, samen met alle krachten die een rol spelen. Bereken de snelheid van de cilinder beneden aan de helling met behulp van krachten en krachtmomenten en de grootte van de wrijvingskracht die de helling op de cilinder uitoefent.

Oplossingen

Meerkeuze deel

• Vraag 1: Antwoord d (0,0601)

De tram kan de brug oprijden als de statische wrijvingskracht minstens gelijk is aan de component van de zwaartekracht langs de helling naar beneden. De hellingshoek $\theta = \arcsin\left(\frac{6}{100}\right) = 3,440^\circ$. $F_{w,\text{max}} = \mu_s F_N = \mu_s m g \cos\theta \ge m g \sin\theta \implies \mu_s \ge \tan\theta = 0,0601$.

• Vraag 2: Antwoord b (247 W)

Kinetische energie van de 2 schijven ($m = 2,5\text{ kg}$, $R = 0,10\text{ m}$): $K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left[2 \cdot \frac{1}{2} m R^2\right] \left[2\pi \cdot \frac{3000}{60}\right]^2 = 1234\text{ J}$. Gemiddeld vermogen over $t = 5,0\text{ s}$: $P = \frac{K}{t} = \frac{1234}{5,0} = 247\text{ W}$.

• Vraag 3: Antwoord c (4 H)

De veerenergie $\frac{1}{2} k x^2$ wordt omgezet in kinetische energie van de bal, waarvan de verticale component $\frac{1}{2} m v_{\text{verticaal}}^2 = m g h$ wordt. De bereikte hoogte is evenredig met $x^2$. Als de veer 2 keer zo diep wordt ingedrukt ($2x$), wordt de hoogte $2^2 = 4$ keer zo groot ($4H$).

• Vraag 4: Antwoord d (5564 s)

Centripetale kracht door zwaartekracht: $\frac{m v^2}{R_A + h} = G \frac{m M_A}{(R_A + h)^2} \implies v = \sqrt{\frac{G M_A}{R_A + h}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24}}{(6380 + 408) \cdot 10^3}} = 7666\text{ m/s}$. Omlooptijd $T = \frac{2\pi(R_A + h)}{v} = \frac{2\pi \cdot 6,788 \cdot 10^6}{7666} = 5564\text{ s}$.

• Vraag 5: Antwoord c (304 Hz)

Massa per lengte-eenheid $\mu = \rho \pi r^2 = 7800 \cdot \pi \cdot (0,125 \cdot 10^{-3})^2 = 3,83 \cdot 10^{-4}\text{ kg/m}$. Golfsnelheid $v = \sqrt{\frac{F_T}{\mu}} = \sqrt{\frac{56}{3,83 \cdot 10^{-4}}} = 382\text{ m/s}$. Golflengte grondtoon $\lambda = 2L = 2 \cdot 0,63 = 1,26\text{ m}$. Frequentie $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{382}{1,26} = 304\text{ Hz}$.

• Vraag 6: Antwoord a ($6,2 \times 10^{-13}\text{ W}$)

Geluidsniveau $65\text{ dB} \implies 65 = 10 \log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right) \implies I = 3,16 \times 10^{-6}\text{ W/m}^2$. Oppervlakte $A = \pi \left(\frac{0,50 \cdot 10^{-3}}{2}\right)^2 = 1,97 \times 10^{-7}\text{ m}^2$. Invallend vermogen $P = I \cdot A = 3,16 \times 10^{-6} \cdot 1,97 \times 10^{-7} = 6,2 \times 10^{-13}\text{ W}$.

• Vraag 7: Antwoord d (16 T)

Met $\tau = I \alpha$ en $I = \frac{1}{2} m R^2$. Bij een $2 \times$ grotere diameter geldt $R_2 = 2 R_1$ en massa $m_2 = 4 m_1$ (oppervlakte neemt toe met factor 4). $I_2 = \frac{1}{2} (4 m_1) (2 R_1)^2 = 16 \left(\frac{1}{2} m_1 R_1^2\right) = 16 I_1 \implies \tau_2 = 16 T$.

• Vraag 8: Antwoord b (Naar rechts)

Tijdens het vooruitfietsen wijst het impulsmoment $\vec{L}$ naar links (volgens de rechterhandregel). Als de fiets vertraagt, wordt deze vector korter, wat betekent dat de verandering $\Delta \vec{L}$ in tegengestelde richting wijst, dus naar rechts.

• Vraag 9: Antwoord a (137 N)

Krachtenevenwicht: $F_L + F_B = m g = 35 \cdot 9,81 = 343,35\text{ N}$. Momentenevenwicht t.o.v. het uiteinde van Lena: $F_B \cdot 5,0\text{ m} - m g \cdot 3,0\text{ m} = 0 \implies F_B = \frac{3}{5} m g \implies F_L = \frac{2}{5} m g = 137\text{ N}$.

• Vraag 10: Antwoord a ($\frac{\sqrt{3}}{2}T$)

Centripetale kracht $F = \frac{m R 4 \pi^2}{T^2} \implies T = 2\pi \sqrt{\frac{m R}{F}}$. Eerste situatie ($R_1 = 2a$, uitrekking $x_1 = a$): $F_1 = k a$. Tweede situatie ($R_2 = 3a$, uitrekking $x_2 = 2a$): $F_2 = 2 F_1$. Verhouding van periodes: $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{R_2 / F_2}{R_1 / F_1}} = \sqrt{\frac{3a / 2F_1}{2a / F_1}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

• Vraag 11: Antwoord a (De bowlingbal)

Bij een elastische botsing verandert de snelheid van de zeer zware bowlingbal nauwelijks, terwijl de pingpongbal wegvliegt met ongeveer $2 \times$ de initiële snelheid. Omdat de massa van de bowlingbal vele malen groter is dan tweemaal die van het pingpongballetje, blijft de impuls van de bowlingbal veruit de grootste.

• Vraag 12: Antwoord b (Schijf B)

Gegeven $L_A = L_B \implies I_A \omega_A = I_B \omega_B$. Kinetische energie $K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} L \omega$. Aangezien $K_A > K_B$ en $L_A = L_B$, volgt dat $\omega_A > \omega_B$. Uit $I_A \omega_A = I_B \omega_B$ volgt dan direct dat $I_A < I_B$, dus schijf B heeft het grootste traagheidsmoment.

Open vragen deel

• Vraag 1

1. Volledig inelastische botsing: Behoud van impuls geeft $m v = (m + M) v' \implies v' = \frac{m}{m + M} v$.

2. Voorwaarde voor volledige cirkel: Op het hoogste punt moet de touwspanning $T \ge 0$ zijn. Bij de minimale snelheid wordt $T = 0$, waarbij de zwaartekracht volledig zorgt voor de centripetale kracht: $\frac{(m+M) v''^2}{l} = (m+M) g \implies v'' = \sqrt{g l}$.

3. Behoud van mechanische energie tussen laagste en hoogste punt:

$$\frac{1}{2} (m+M) v'^2 = (m+M) g (2l) + \frac{1}{2} (m+M) v''^2$$

$$\frac{1}{2} \left(\frac{m}{m+M}\right)^2 v^2 = 2 g l + \frac{1}{2} g l = \frac{5}{2} g l$$

$$v = \frac{m+M}{m} \sqrt{5 g l}$$

• Vraag 2

Totale massa $m = 2 m_1 + m_2 = 2(0,050) + 0,0050 = 0,105\text{ kg}$. Totale potentiële energie bovenaan: $E = m g h = 0,105 \cdot 9,80 \cdot 1,0 = 1,029\text{ J}$. Traagheidsmoment $I = 2 \left(\frac{1}{2} m_1 R_1^2\right) + \frac{1}{2} m_2 R_2^2 = 7,04 \times 10^{-5}\text{ kg}\cdot\text{m}^2$. Omdat het touw rond de naaf afrolt geldt: $\omega = \frac{v}{R_2} = \frac{v}{0,005\text{ m}}$. Kinematische vergelijking voor de energie onderaan:

$$E = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = 0,0525 v^2 + 1,408 v^2 = 1,4605 v^2$$

(a) $1,029 = 1,4605 v^2 \implies v = 0,84\text{ m/s}$

(b) Verhouding van rotationele kinetische energie: $\frac{1,408 v^2}{1,4605 v^2} = 96,4%$

• Vraag 3

Dit is een fysische slinger met periode $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m_{\text{totaal}} g h}}$. Totale massa $M = 3 m = 360\text{ kg}$. Zwaartepunt van de driehoek bevindt zich op afstand $h = \frac{2}{3} \cdot L \cos(30^\circ) = \frac{L \sqrt{3}}{3}$ van het ophangpunt. Traagheidsmoment $I$ berekenen t.o.v. het ophangpunt voor de 3 balken (gebruikmakend van de stelling van Steiner):

$$I = 2 \cdot \left(\frac{1}{3} m L^2\right) + \left(\frac{1}{12} m L^2 + m (L \cos(30^\circ))^2\right)$$

Substitutie van $L = 5\text{ m}$ en $g = 9,81\text{ m/s}^2$ geeft:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{3 L}{2 \sqrt{3} g}} = 4,18\text{ s}$$

• Vraag 4

1. Translatiebeweging (2e wet van Newton):

$$M a = M g \sin\theta - F_{wr}$$

2. Rotatiebeweging t.o.v. zwaartepunt:

$$\tau = I \alpha \implies F_{wr} R = \left(\frac{1}{2} M R^2\right) \left(\frac{a}{R}\right) \implies F_{wr} = \frac{1}{2} M a$$

3. Versnelling bepalen:

$$M a = M g \sin\theta - \frac{1}{2} M a \implies \frac{3}{2} a = g \sin\theta \implies a = \frac{2}{3} g \sin\theta$$

4. Snelheid beneden aan de helling (met hellingslengte $L = \frac{H}{\sin\theta}$):

$$v = \sqrt{2 a L} = \sqrt{2 \left(\frac{2}{3} g \sin\theta\right) \left(\frac{H}{\sin\theta}\right)} = \sqrt{\frac{4 g H}{3}}$$

5. Wrijvingskracht:

$$F_{wr} = \frac{1}{2} M a = \frac{1}{3} M g \sin\theta$$