Given files for Exercises: see Ufora VLK cursus

Exam Process Control 31 May 2024

Question 1 (2 points): To the left a Bode diagram of a system is given. Next, there are 4 possible root loci diagrams given. Assign the right root locus diagram to the Bode plot (mention the letter you choose) (0.5p). Motivate your answer (1.5p).

Question 2 (2 points): You are trying to control the system with a proportional controller. You assume that the system has following transfer function: h(s) = 2/(s²+2s+1). The theoretical system response and Bode plot are given below.

After some time, you realize that there must be some dead time in the measurement sensor. The real Bode plot looks like below.

a. Calculate the dead time from this information. b. What is the minimal offset that can be achieved by maintaining a safety factor of 1.7 for the gain margin?

Question 3 (1 point): Below is the scheme of a blending system. "AT" stands for "Analysis Transmitter". What type of controllers are A and B? Motivate shortly your answer.

Student answer: Controller A is used to control the flow of x2 by opening or closing the valve. X1m will let the controller know how much flow there is of x1. If there is more or less flow of x1m it will adapt its flow of x2. There is a setpoint xsp entering B. Controller B will look if there is an offset between xsp - x. Its goal is to minimize this error. When the error is bigger...

Question 4 (7 points) — Exercises: A water tank heating process shown in the figure below controls the outlet temperature at a desired set point TSP by manipulating the steam pressure Ps of the steam sent to the tank heat exchanger. The relevant variables (deviation variables by default) are:

• TSP → the temperature set point for the temperature in the tank [°C]
• T → the temperature in the water tank [°C]
• Tm → the measured temperature of the water tank [°C]
• V → the valve opening for the steam [–]
• Ps → the steam pressure sent to the heat exchanger [bar]

The following transfer functions are given:

• The effect on T due to changes in Ps: Gp = 0.80/((11s+1)(6s+1))
• The effect on Ps due to changes in V: Gv = 2/(18s+1)·e^(-1.6s) (dynamics of the actuator)
• The effect on Tm due to changes in T: Gm1 = 1/(2s+1) (dynamics of the temperature measurement sensor that measures T)

Use the given script water_tank_heating.m as a start for the exercises and complete it with your code for answering the questions below.

Part 1: Simple feedback

Suppose that a simple feedback is used in order to control the water temperature T in the tank. In this feedback loop a PI-controller is used with Kc1=1.5 and τI=20s.

1. (1p) Use the given transfer functions and controller values to analyse the stability of this simple feedback system. a. Plot the Bode-diagram with the margin-command using the open-loop transfer function of the system (save it in figure_bode_simple_feedback.png). b. Determine the gain margin and the maximum additional dead time that the system can support before becoming unstable.
2. (1p) Implement the simple feedback loop with PI-controller in a Simulink model (complete system_simple_feedback.slx) using the given information above. Use a saturation-block between the controller and the valve to limit the valve opening to the range [-20,20]. Consider a step change from 0°C to 10°C in TSP at t=180s. Simulate the response in T for 900s together with the step and plot your results (save it in figure_results_simple_feedback.png).
3. (1p) Comment shortly on your results. Hints: overshoot or not?, strong or weak oscillations?, close to or far from instability wrt. the controller gain?, is the result acceptable?

Part 2: Cascade feedback

Suppose that we are able to measure the steam pressure with a pressure measurement device with the following characteristics:

• The effect on Psm due to changes in Ps: Gm2 = 1/(0.4s+1) (dynamics of the pressure measurement sensor that measures Ps)

The system can now be controlled with a cascade feedback. Use a P-controller with Kc2=4 for the secondary loop. The primary loop is still controlled using the aforementioned PI-controller.

4. (1p) Use the given transfer functions and controller values to analyse the stability of this cascade feedback system. a. Plot the Bode-diagram with the margin-command using the open-loop transfer function of the system (save it in figure_bode_cascade_feedback.png). b. Determine the gain margin and the maximum additional dead time that the system can support before becoming unstable.
5. (2p) Implement the cascade controlled system in a Simulink model (make a copy of your previous Simulink model and rename it to system_cascade_feedback.slx) using the given information above. Use a saturation-block between the controller and the valve to limit the valve opening to the range [-20,20]. Consider a step change from 0°C to 10°C in TSP at t=180s. Simulate the response in T for 900s together with the step and plot your results (save it in figure_results_cascade_feedback.png).
6. (1p) Comment shortly on your results. How is the control in cascade with respect to the simple feedback configuration?

Question 5 (5 points): Suppose that part of a brewing process in a (perfectly mixed) reactor, the following reactions occur:

Z →(r1) S with r1 = k1·Eα·(Z+S) Z →(r2) M with r2 = k2·Eβ·(Z+M)

Starch Z is broken down by the enzyme α-amylase Eα into a mixture of sugars S at a reaction rate r1 = k1·Eα·(Z+S) [mol/(L·s)], with k1 = 1 L/(mol·s). The enzyme β-amylase Eβ converts the starch Z to maltose M at a reaction rate r2 = k2·Eβ·(Z+M) [mol/(L·s)], with k2 = 1 L/(mol·s). A solution of starch Zin flows into the reactor at a flow rate Q. The concentration Zin can be manipulated. Assume that the volume of the reactor V, the incoming flow rate Q and the enzyme concentrations Eα and Eβ are constant (V=4L, Q=2 L/s, Eα=Eβ=0.3 mol/L). The dynamics of the system is then described by:

• Ż = Q/V(Zin-Z) - k1Eα(Z+S) - k2Eβ(Z+M)
• Ṡ = -Q/V·S + k1Eα(Z+S)
• Ṁ = -Q/V·M + k2Eβ(Z+M)

All concentrations are expressed in mol/L. The carbohydrate content K of the effluent is measured: K = 0.11Z + 0.54S + 0.35M

Elaborate your answers and clarify your method in the given MATLAB script (brewing_process.m) with Simulink model (model_sfb.slx).

1. (1p) Show that the above system is not (state) controllable.
2. (1p) To make this system controllable, it can be reduced to a 2-dimensional system, since S and M show equal dynamics since they have the same reaction speed (because k1=k2=k and Eα=Eβ=E). If the initial sugar and maltose concentrations are equal, their concentrations are equal at all times. In this case the system can be described by only 2 differential equations:
   • Ż = Q/V(Zin-Z) - 2kE(Z+S)
   • Ṡ = -Q/V·S + kE(Z+S) (S(t=0)=M(t=0))
   Adjust the state space model to the reduced system.
3. (1p) Show that the reduced system is now (state) controllable.
4. (2p) Design a state feedback for the system. Combine this with a PID controller that controls the carbohydrate content in the effluent (Kc=5, τI=3s, τD=0.05s). Make sure that the Filter Coefficient (N) is set to 5 in the PID block. Create a step at t=30s, changing the setpoint KSP (in mol/L) from 1.0 to 3.0. Use as initial values (in mol/L): Z(t=0)=1.5, S(t=0)=0.0. The incoming starch concentration Zin cannot be negative and cannot be higher than 12.0 mol/L (hint: saturation block). Adjust the state feedback with an LQ controller. Thereby, it is three times more important that the concentrations Z and S (and, by consequence also, K) converge quickly to their equilibrium point compared to the variation in the incoming starch concentration Zin. Plot the setpoint KSP, the input Zin and the output K as a function of time during 120s (save it in figure_brewing_process.png).

Student answer excerpt: "1. The above system is not state controllable. (rank = 2, while 3 states)"

Theorie (5p)

• Bode plot gegeven: I regeling toevoegen, welke bode plot krijg je dan? (3 plots gegeven om uit te kiezen)
• Open loop en closed loop step respons met transfer functie script gegeven. Er zat een P regelaar op. Men wenst niet meer dan 50% offset, kan dit door te tunen of moet je I of D actie bijvoegen? (stabiliteit bekijken en offset waarde berekenen voor 50%)
• MPC (gelijkaardig aan voorbeeld theorievraag)

Oefeningen

• Klassieke controle (7p), gelijkaardig aan practica van dead time en je moest corrigeren met smith predictor
• (5p) Moderne controle, zelfde als practica, LQ controller toepassen en state space estimator (niet observeerbaar)

Vraag 1

Poolbaan gegeven. Vervolgens worden er 3 Bode-diagrammen gegeven, zeggen dewelke bij het gegeven systeem hoort + motivatie.

Vraag 2

2 figuren gegeven. Linkse figuur: open kring stapantwoord van 2 verschillende systemen. Rechtse figuur: gesloten kring stapantwoord van zelfde systemen geregeld met exact dezelfde regelaar. Welke curven horen bij elkaar (iets in die aard was de vraag).

Vraag 3

Figuur met een geregelde output systeem: welk(e) probleem(en) merk je op en welke oplossing(en) kan je geven?

Vraag 5 (2e grote vraag)

Beschouw een perfect gemengde reactor, gevuld met een constant volume water V (V=3L). Een waterige oplossing van substraat Sin en biomassa Xin stroomt de reactor binnen aan een constant debiet Q (Q=2L/d). De concentraties Sin en Xin zijn vrij instelbaar. In de reactor wordt het substraat S omgezet tot product P met behulp van enzym E. De snelheid van deze reactie is afhankelijk van de enzymconcentratie E en de substraatconcentratie S. Indien er genoeg product voorhanden is, wordt het vervolgens door een biomassa X verbruikt, wat groei veroorzaakt, aan een snelheid evenredig met de productconcentratie. Er wordt hierbij verondersteld dat één mol product in één mol biomassa wordt omgezet. Daarnaast groeit de biomassa ook nog op basis van andere grondstoffen, wat gemodelleerd wordt door een groeisnelheid k. De dynamica van het systeem wordt beschreven door:

• dS/dt = Q/V·(Sin - S) - k1·E·S
• dP/dt = -Q/V·P + k1·E·S - k2·P
• dX/dt = Q/V·(Xin - X) + k2·P + k·X

Aangezien dit een sterk vereenvoudigde voorstelling van het systeem is, zijn negatieve concentraties mogelijk bij evenwicht. Veronderstel dat k1 = 1 L/(mol·d), k2 = 1/d en k = 0.5/d en dat de enzymconcentratie constant is (E = 0.9 mol/L). Alle concentraties worden uitgedrukt in mol/L. Een sensor meet de biomassa-activiteit die proportioneel is met de biomassaconcentratie. De activiteit van biomassa is 6 (bij een concentratie van 1 mol/L).

Vraag 1 Toestandsterugkoppeling (state feedback) (3 punten)

a) Toon aan dat het systeem controleerbaar is

b) Ontwerp een toestandsterugkoppeling voor het systeem zodat het systeem wordt geregeld naar een toestand waarbij de substraatconcentratie gelijk is aan 5 mol/L. Gebruik als initiële waarden (in mol/L): S(t=0)=0, P(t=0)=0, X(t=0)=0. Stel de toestandsterugkoppeling af met een LQ regelaar (LQ controller). Hierbij wordt er drie keer meer belang gehecht aan een snelle convergentie naar het evenwicht van de productconcentratie dan van de substraat- of biomassaconcentratie.

c) Plot het setpoint en de bijbehorende toestand in functie van de tijd.

Vraag 2 Toestandsschatter (state observer) (2 punten)

Werk hier met hetzelfde toestandsmodel als in deel 1, maar zonder toestandsterugkoppeling!

a) In werkelijkheid kunnen de toestanden niet rechtstreeks worden gemeten. Toon aan dat het systeem observeerbaar is.

b) Ontwerp een toestandsschatter voor het systeem (initiële schattingen: Shoed(t=0)=Phoed(t=0)=Xhoed(t=0)=4). Kies matrix H zodanig dat de toestandsschatter eigenwaarden -1.367, -1.667 en -1.567 heeft: H = [0 0 h31]^-1.

c) Implementeer de toestandsschatter en plot de werkelijke en de geschatte toestanden in functie van de tijd, wanneer de inkomende substraatconcentratie toeneemt van 0.5 tot 1 mol/L op tijdstip 100. Je kan de inkomende biomassaconcentratie constant en gelijk aan 0.2 mol/L veronderstellen.

d) Kan deze toestandsschatter vertrouwd worden voor de implementatie van de vorige regelaar?